[国家集训队2011]种树 解题报告

题目:


A城市有一个巨大的圆形广场,为了绿化环境和净化空气,市政府决定沿圆形广场外圈种一圈树。园林部门得到指令后,初步规划出n个种树的位置,顺时针编号1到n。并且每个位置都有一个美观度Ai,如果在这里种树就可以得到这Ai的美观度。但由于A城市土壤肥力欠佳,两棵树决不能种在相邻的位置(i号位置和i+1号位置叫相邻位置。值得注意的是1号和n号也算相邻位置!)。

最终市政府给园林部门提供了m棵树苗并要求全部种上,请你帮忙设计种树方案使得美观度总和最大。如果无法将m棵树苗全部种上,给出无解信息。

分析:

首先考虑如果没有“相邻位置不能都种”这一限制会怎么样。这时就是一个裸的贪心——按照A[i]从大到小排序,然后取前M个。

那么加上限制以后会发生什么呢?

但是慢着!这可能会导致问题。假设A[3]=20,A[2]=A[4]=19,那么同时选A[2],A[4]可能比选A[3]要优!在最后的方案中可能是A[2]+A[4]而非A[3]。这种情况要怎么解决呢?

可以发现一点:由于A[3]最大,所以在最后的方案中,不可能只选A[2],A[4]中的一个。
原因很简单:假设在最优方案中选了A[2]但未选A[4],那可以简单地把A[2]换成A[3],由于未选A[4],所以这样不会产生任何矛盾,并且把A[2]换成A[3]后,总的美观度不会下降。

因此,我们先去掉2,3,4,然后加入一个新的“物品”,其权值为A[2]+A[4]-A[3],代表同时选2,4,删去3.这样,在选了3之后再选这个新物品,功效就相当于刚才所说的,把A[3]换成A[2]+A[4]。

这个新物品应该放在哪里呢?它的含义是“选2,4”,所以很容易想到,应该把它放在1,5中间。
出于方便起见,不妨在删掉2,4后直接把A[3]改成A[2]+A[4]-A[3],显然这个位置是正确的。

如此就将N个物品,需要选M个的问题转化成了在N-1个物品中选的问题。并且可以发现一个很好的性质:新的3所对应的仍然是“选中物品数+1”!(把选3换成了选2,4,即多选了一个物品)

也就是说,完全可以把新的3看做一个和1,5毫无区别的物品,现在我们只需要在1,3,5三个物品中选择M-1个!如此下去,直到选择M次,就可以得到答案。

因此描述一下算法:以A[i]为关键字建大根堆,用一个链表存放当前物品。
最初链表中元素是1~N,i的后继是i+1,前驱是i-1(当然,1的前驱是N,N的后继是1)。
执行M次操作,每一次操作都将堆顶元素k取出,ans+=A[k]。然后在链表中删除k的前驱pre和后继nxt,令A[k]=A[pre]+A[nxt]-A[k],并更新堆。

这个算法运行的很好,但你可能感觉有点虚——为什么每次选A值最大的就正确呢?
可以发现,在上面的讨论中“选3”时,我们实际上做的是声明如下事实:
在最终答案中要么选了3,要么同时选了2,4.换句话说,要么选了3,要么在此基础上选了A[2]+A[4]-A[3]。

所以我们实际上是重写了这个问题,将其变成“N-2个物品中选M-1”个的形式,如此一直化归,直到最后变成“N-2(M-1)个物品中选1个”,这时答案就是显然的。

代码:

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注