流体力学中各参数的量纲

基本单位

质量:\(M\)

长度:\(L\)

时间:\(T\)

温度:\(K\)

衍生单位

密度:质量除以体积,所以就是\(ML^{-3}\)

速度:单位是\(m/s\),量纲就是\(LT^{-1}\)

加速度:\(LT^{-2}\)

力:众所周知F=ma,其中m是质量,a是加速度,所以就是\(MLT^{-2}\)

动量:质量*速度。所以就是\(MLT^{-1}\).

能量:做功是F*S,也就是力乘以距离,这个就是能量。所以能量的单位就是力乘以距离:\(ML^2T^{-2}\).

功率:做功的速率,就是能量除以时间,所以就是\(ML^2T^{-3}\).

比热容:让单位质量物体升温1K需要的能量。量纲就是能量/(质量*温度),也就是\(L^2T^{-2}K^{-1}\)

压强:单位面积上受到的力。就是力除以面积。前面说了力的量纲是\(MLT^{-2}\),面积则是\(L^{2}\),两个一除就是\(ML^{-1}T^{-2}\).

热体胀系数:温度增加1℃时密度的相对减小率(也是体积的相对膨胀率).所以就是\(-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial p}\),其中\(\rho\)的量纲约去,热膨胀系数的量纲就是\(K^{-1}\).

等温压缩系数:压强增加一个单位时,流体密度的相对增加率。类似地,“相对增加率”无量纲,压强在分母上,所以就是\(M^{-1}LT^2\)

杨氏模量:单位面积应力(压强)=模量*相对应变(无量纲),可以想象模量越大的物品越“硬”,越能把较小的应变换算成较大的力。所以杨氏模量的量纲就是压强的量纲\(ML^{-1}T^{-2}\)

体积弹性模量:(其实就是等温压缩系数的倒数),这也是一种模量:压强变化=模量*相对变形率,量纲就是压强的量纲\(ML^{-1}T^{-2}\).

动力粘度\(\mu\):在牛顿流体的剪切流动中,单位面积所受的粘性切应力和速度梯度成正比。速度梯度就是“速度差”,不是速度。所以它的单位就是力/(面积*速度梯度),速度梯度的量纲是\(LT^{-1}/L=T^{-1}\),所以就变成了力/面积*时间,即压强*时间,所以它的单位是帕斯卡*秒。也就是\(ML^{-1}T^{-1}\).

运动粘度\(\nu\):它的定义是\(\nu=\mu/\rho\)也就是动力粘度/密度,没什么意义,存在目的主要是为了方便,例如测运动粘度不需要测量力。动力粘度的量纲是\(ML^{-1}T^{-1}\),密度则是\(ML^{-3}\),所以运动粘度的量纲就是\(L^2T^{-1}\)

导热系数\(k\):根据傅里叶热传导定律:\(\textbf{q}=-k\nabla T\),其中左边是热流密度。两边都应该是强度量,而显然时间越长,接触面积越大则导热越多,所以左边的热流密度就是导热能量/(时间*面积),其中能量是\(ML^2T^{-2}\),时间*面积是\(TL^2\),所以热流密度就是\(MT^{-3}\).右边温度梯度是\(KL^{-1}\),所以导热系数的量纲就是\(MLT^{-3}K^{-1}\).或者用:左边热流密度就是瓦特/平方米,右边温度梯度就是开尔文/米,左除以右就是瓦特/(开尔文*米).

牛顿粘性定律、热传导都是一种输运过程,都具有输运流量=常数*势梯度的特点。

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