粘性不可压缩流体运动复习笔记

基于吴望一《流体力学(下)》

运动方程组:略

边界条件:固壁上满足粘性边界条件\(v_{\text{solid}}=v_{\text{fluid}}\),自由面边界条件

粘性流体运动的一般性质:
a)有旋。原因是方程组中的粘性项可以写成\(\nu \nabla\times\Omega\),如果无旋,这一项就没了,就变成了理想不可压缩流体的方程,但理想不可压缩流体的方程满足滑移边界条件,看之前解的各个情况,绕流表面上的切向速度一般不为零,所以不科学。
b)机械能的损耗性。变形速度越大损耗越大。
c)涡旋的扩散性。例:涡量从长平板上扩散。

柱管内的流动
首先看各种简化。
1)流动定常,时间导数为零。
2)在y,z方向速度为零,所以忽略在y,z方向的粘性力和惯性力。
3)由于2,y,z的动量方程组消失,压力p只依赖域x
4)由于只沿x方向流动,根据不可压缩条件,u不依赖于x,u=u(y,z).
5)由于4,在x方向没有加速度,动量方程左端所有项均消失。
6)只有x方向的动量方程,只有压力和粘性项:\(\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}=\nu\Delta u\)
7)考虑到6里面是运动粘性,改成动力粘性就消去了\(\rho\),也就是\(\Delta u=\frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \)
这个式子左边只和y,z有关,右边只和x有关,都等于常数-P

Stokes近似:把惯性项全部略去。也就是方程9.7.1

奥新近似:用V无穷近似惯性项。

二者的区别:
1)Stokes近似在Re<1时符合,奥新公式在Re<=5符合。算出来的阻力值都差不多。
2)Stokes近似关于y轴对称,接近点源引起的流动,奥新近似不同,在圆球后明显不是点源流动。奥新近似和实际情况符合。因为圆球前涡旋强度小,相当于势流,但圆球后涡旋强度大,就不是了。
3)Stokes公式想要适用需要雷诺数小,也就是粘性系数大或物体尺寸小。例如考虑水滴在空气中下落问题的时候,Stokes公式需要水滴小到雾滴的尺寸才能适用。

边界层:
对于大雷诺数运动,应当可以把粘性项看作小量略去,但略去之后就变成了理想流体方程(欧拉方程),而欧拉方程一般无法处理固壁上有两个边界条件的情况(无滑移边界条件)。所以就把流体分成边界层和“外层”,边界层之外是只有惯性力(理想流体),边界层之内是惯性力+粘性力。

脱体现象:
产生原因是粘性+逆压。
反例1(有粘性无逆压):平板绕流。
反例2(有逆压无粘性):理想流体翼面绕流。
反例3(有逆压有粘性,但逆压小):翼面绕流。
在非流线型物体的理想绕流中,压力从前到后先减小再增加,在物体后方形成逆压区。在启动一段时间后,边界层生长变厚,由于边界层内粘性显著,摩擦力大,流体质点受到滞止作用,无法用惯性克服这种逆压流至后缘,因此在途中某点停留下来,产生了脱体现象。
脱体点后方的流体在逆压作用下向前回流,又在来流冲击下顺流回去,形成涡旋。涡旋损耗动能,产生了涡旋阻力(诱导阻力)。观察压力分布可以发现,尾涡区的压力偏小,导致显著的阻力。
流线型物体不产生脱体现象的原因是,其逆压梯度较小,流体可以在惯性的作用下克服这种梯度,继续向后流动。
因此,流线型物体的尾涡阻力一般较小,主要的阻力是摩擦阻力

脱体的性质:脱体点之前顺流,u对y偏导大于零,脱体点之后逆流,小于零,脱体点等于零。
脱体点不是速度为零的点(物面上速度全是零),而是贴近物面的速度为零的点,也就是u对y偏导等于零

在逆压区内,边界层内速度剖面有一拐点。

流量损失厚度:由于粘性滞止作用,边界层内损失的流量是U-u积分。流线为了补偿这种动量的损失会相应外移,外移的“厚度”就是这个数除以U.

动量损失厚度:由于粘性滞止作用,边界层内损失的动量是rho*u*(U-u)积分。流线为了补偿这种动量的损失相应外移,外移的“厚度”就是这个数除以rho*U^2.

润滑作用:雷诺数小,粘性力占主导,可忽略惯性力。产生高压。

为什么圆球阻力在一定雷诺数下突然下降:转捩点前移到脱体点之前,在脱体点附近是湍流边界层,边界层内外流体通过脉动发生强烈的动量交换,动量较大的边界层外流体帮助层内流体克服逆压和粘性阻碍,继续向后方运动,从而推迟了脱体现象的产生。这样一来,压差阻力大大减小,超过了湍流边界层摩擦阻力的增加,从而总阻力急剧下降。

雷诺应力(湍流应力):在研究湍流问题时,把脉动项移到方程右端,成为一个张量。这个就是雷诺应力张量。

靠近壁面的湍流速度剖面:
1)在靠近壁面的层流子层,粘性应力占主导,速度线性分布。
2)在远离壁面的湍流核心区,雷诺应力占主导,速度对数分布。

光滑圆管中,层流子层和转换区比较小,可以不管,直接用对数分布描述速度剖面。

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