作者： wmdcstdio

2 运动方程

文中推导的是不可压缩弹性固体的方程。目标是让弹性方程看起来尽量像流体方程一样。

(q,r,s)是固体上的曲线坐标。X(q,r,s,t)是该固体质点在t时刻的位置。M(q,r,s)是质量密度。由能量密度函数E[X]定义固体材料性质。弹性力就是它的Frechet导数：

[……]

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3 简介

MPM是结合PIC和FLIP而发展的一种算法。MPM对Lagrangian mesh连通性没有要求。

和PIC/FLIP类似，MPM算法在背景Eularian网格的辅助下，隐式处理自碰撞和破碎。与传统的Lagrangian方法（例如FEM算固体）Eularian方法（流体）相比[……]

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摘要

本文提出一种流固耦合算法，能处理用三角面片表示的，无穷薄的固体。经典的流固耦合算法在三维格子上表示固体，但薄片没有内部区域，这就需要新方法。我们使用Robust ray casting来辅助插值，有限差分和渲染算法，使得液体不会穿过固体薄片。此外，我们提出了一种新方法，使得在enforc[……]

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单向耦合

如果固体足够小，就可以忽略固体对流体的作用力，只考虑流体对固体的作用力。

固体受到的力分为两种：压力和粘性力。在固体非常小的时候，粘性力占主导，某点处的粘性力等于粘性张量乘以法向，总的受力就是：

这里S代表固体的体积，法向指向固体外部。由于是单向耦合，因此不在固体表面[……]

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在初始时间[latex]t_0[/latex]，在界面上放[latex]N_p[/latex]个粒子，用[latex]\mathbf{x}_p[/latex]表示粒子的位置。

显然，粒子跟着流场走，也就是：

由于是粒子，所以就是直接微分，没有什么物质导数之类的。

我们用有符号距[……]

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根据文献[chen2008]，使用Darcy-Brinkman-Forchheimer扩展模型描述孔隙流动的方程如下：

不可压方程：[latex]\nabla\cdot\vec{u}=0[/latex]

动量方程：[latex]\rho\frac{\partial \vec{u[……]

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高速空气动力学的假设：
1)流体看做理想。因为惯性力/粘性力的量级是Re，高速气流雷诺数很大，可忽略粘性力。
2)视作绝热。携带热/传导热的量级是Re*Pr，其中Pr是普朗特数，量级为1，故可忽略传导热。
3)忽略重力。重力/惯性力的量级是Fr（弗劳德数），即V^2/Lg，高速空气动力学中V大L小，故可忽[……]

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基于吴望一《流体力学（下）》

运动方程组：略

边界条件：固壁上满足粘性边界条件[latex]v_{\text{solid}}=v_{\text{fluid}}[/latex]，自由面边界条件

粘性流体运动的一般性质：
a)有旋。原因是方程组中的粘性项可以写成[latex]\nu[……]

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