[CodeChef OCT13]斐波那契数Fibonacci Number解题报告

题目


分析

这道题是CodeChef上难得一见的优美数论题,比那些(净是中国人出的)丧心病狂的数据结构高到不知道哪里去了。

题目基于两个算法:第一个是Tonelli-Shanks算法,第二个是Shanks大步小步算法(这个Shanks是会玩的)。前者参见我的上一篇博文:http://blog.csdn.net/wmdcstdio/article/details/49862189,后者资料众多,不再赘述。
Tonelli-Shanks算法是一个“开根号”的算法。即,给出奇素数p和某个a,它能在O(log^2p)内找到一个r,使得r^2=a (mod p),或者判断不存在这样的r。而大步小步算法则是求“离散对数”的:给出a,b,求最小的非负整数n使得a^n=b (mod p)。
Tonelli-Shanks算法能干什么呢?首先可以求出模P意义下的“根号5”,即某个x使得x^2=5 (mod P,下略),然后就能求出模P意义下的”(sqrt(5)+1)/2″,记为y。

如此一来,我们可以把Fibonacci数列的通项公式写成:
Fn=(1/x)*(y^n-(-1/y)^n),其中的“除法”自然就是乘以乘法逆元的意思。
我们需要求出最小的非负整数n,使得Fn=c,把通项公式中的x乘过去,就是C*x=y^n-(-1/y)^n。

先假设n是偶数(n是奇数的情况非常类似,把它作为练习留给读者)。设C*x=d,我们的方程变成了:
d=y^n-1/(y^n).
在这里就可以看出来我们要做什么了,再写开一点:
设u=y^n,则d=u-1/u,u^2-du-1=0,这是一个标准的一元二次方程!只是它是在模P意义下的。
怎么解这个一元二次方程呢?
回想(实数系下)一元二次方程的求根公式,没错就是初中数学毒瘤题经常用的那个:(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a,其中用到的操作无非加减乘除和开平方——这些操作,我们都能做!除法就是求逆元,开平方用Tonelli-Shanks。
于是我们得到了y^n的值。现在问题变成了:求最小的非负偶数n,使得y^n=u,当然可能的u有两个,即二次方程的两个根。
怎么解决“偶数”的问题呢?用Tonelli-Shanks把u开平方即可。当然你也可以先不管奇偶求一个n,然后再求y对P的阶数,试图累加。

如果你想这么做,还可以继续优化常数。这道题的主要复杂度来自于大步小步算法,可以主要由它下手:先把所有的u求出来,在一次大步小步算法中同时求解;以及把大步小步算法的map换成哈希表,都能有效减少常数。

代码:

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
//取模,返回非负数 
LL realmod(LL a,LL M){
	a%=M;
	if(a<0) a+=M;
	return a;
}
//快速幂,用普通乘法实现 
LL quickpow(LL a,LL n,LL M){
	a=realmod(a,M);
	LL ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*a%M;
		a=a*a%M;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
//乘法逆元 
LL inverse(LL a,LL p){//a对p的乘法逆元,p是素数 
	return quickpow(a,p-2,p);
}
//勒让德符号 
LL Legendre_symbol(LL a,LL p){//p是奇素数 
	//1代表a是平方剩余,-1代表a不是平方剩余,0代表a=0 
	//a^((p-1)/2)
	LL flg=quickpow(a,(p-1)/2,p);
	if(flg==0||flg==1) return flg;
	if(flg==p-1) return -1;
}
//模意义平方根 
LL sqrt_mod(LL n,LL p){//解方程组x^2=n(mod p),Tonelli-Shanks算法,p是奇素数
	n=realmod(n,p);//保证n非负 
	//返回方程的一个根 
	if(Legendre_symbol(n,p)!=1) return -1;//无解
	LL S=0,Q=p-1; 
	while(!(Q&1)){
		S++;
		Q>>=1;
	}
	//现在Q是奇数,p-1=Q*2^S
	LL z;//选择一个二次非剩余z 
	while(true){
		z=rand()%p;//随机一个数,这个rand有可能太小,不知道会不会出问题 
		if(Legendre_symbol(z,p)==-1) break;
	}
	LL c=quickpow(z,Q,p),R=quickpow(n,(Q+1)/2,p),t=quickpow(n,Q,p),M=S,i,tmp,b;
	while(true){
		if(t==1) return R;
		for(i=0,tmp=t;tmp!=1;i++,tmp=tmp*tmp%p);
		b=quickpow(c,1LL<<(M-i-1),p),R=R*b%p,c=b*b%p,t=t*c%p,M=i;
	}
}
//二次同余方程 
bool quadratic_mod(LL a,LL b,LL c,LL p,LL &x1,LL &x2){//解同余方程ax^2+bx+c=0(mod p),p是奇素数 
	a=realmod(a,p),b=realmod(b,p),c=realmod(c,p);
	LL dlt=realmod(b*b%p-4*a%p*c%p,p);
	LL sd=sqrt_mod(dlt,p);
	if(sd==-1) return false;//无解
	LL inv2a=inverse(2*a,p);
	x1=realmod((-b+sd)%p*inv2a,p);
	x2=realmod((-b-sd)%p*inv2a,p);
	return true;
}
//扩展欧几里得算法 
void extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d){
	if(b==0){d=a;x=1;y=0;}
	else{extend_gcd(b,a%b,y,x,d);y-=(a/b)*x;}
}
vector > suspects;
LL C,P,ans;
void update(LL n){
	if(ans==-1||n

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