关于马拉戈尼效应(Marangoni Effect)

本文基于维基百科内容写作:

https://en.wikipedia.org/wiki/Marangoni_effect

https://en.wikipedia.org/wiki/Marangoni_number

示例视频(需科学上网):

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Marangoni_effect_experimental_demonstration.ogv

马拉戈尼效应由表面张力的梯度产生。在简化情况下,流体被马拉戈尼效应驱动而流动的特征速度\(u\sim\Delta\gamma/\mu\),其中\(\delta\gamma\)是表面张力的特征差距(difference in surface tension),\(\mu\)就是流体的粘度。至于为什么,见后面马拉戈尼数的部分。

这里注意,Pa=N/m^2,所以\(Pa\cdot s\)的单位是\(N\cdot s/m^2\).所以\(\Delta\gamma/\mu\)的单位就是速度单位N/m。

在室温下,水的表面张力高达约0.07N/m,而粘度则约为\(10^{-3}Pa\cdot s\).由于表面张力和粘度之间的巨大差距,只要水的表面张力能稍微变化一点(例如,从0.070到0.069),这个特征速度就能达到1m/s这个量级。

然后我们看马拉戈尼数(Marangoni number).它的记号是Ma,注意不要跟马赫数搞混了。

马拉戈尼数是一种Peclet数,定义如下:

\(Ma=\frac{马拉戈尼效应产生的对流输运速率}{表面张力源产生的扩散输运速率}\)

这个扩散输运,我的理解,比如说如果表面张力之差是由表面活性剂(surfactant,如肥皂)的浓度梯度产生,那么它指的就是肥皂分子的扩散速率。

举这样一个例子:假设有一水平面,表面张力在L的距离上变化了\(\delta\gamma\)。假设水足够深,深度至少为L,那么L就是问题中的唯一特征尺度。我们可以把这个问题叫做马拉戈尼流(Marangoni flow).

这样,就可以用Stokes flow计算这个问题。也就是:令流体柯西张量的梯度等于粘性扩散。表面张力产生的张量,尺度为\(\Delta\gamma/L\).而粘性张量的尺度为\(\mu u/L\),u就是特征速度。让这二者相等,得到流速\(u=\Delta\gamma/u\).

这样的话,马拉戈尼数里面,对流输运的特征速率就是特征速度乘以特征尺度,即uL.而扩散输运的特征速率那就是菲克定律(Fick’s law)里面的扩散系数D。所以总的马拉戈尼数就是:

\(Ma=\frac{uL}{D}=\frac{\Delta\gamma L}{\mu D}\).

我们可以用量纲分析法小小地验算一下这个式子。

表面张力\(\gamma\)的单位是N/m,其中N的量纲是\(MLT^{-2}\),那么表面张力之差\(\Delta\gamma\)的量纲,和表面张力一样,就是\(MT^{-2}\),马拉戈尼数分子的量纲就还是\(MLT^{-2}\).

另一边,扩散系数(或称质量扩散率)D的单位是\(m^2/s\),量纲是\(L^2T^{-1}\).而前面说过,粘度的单位是\(N\cdot s/m^2\),量纲是\(ML^{-1}T^{-1}\).用扩散系数的量纲乘以粘度的量纲,就得到分母的量纲\(MLT^{-2}\),分子分母恰好抵消。

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