本文提到的方法见于：Tartakovsky, Alexandre M., and Paul Meakin. “A smoothed particle hydrodynamics model for miscible flow in three-dimensional fractures and the two-dimensional Rayleigh–Taylor instability.” Journal of Computational Physics 207.2 (2005): 610-624.

普通SPH形式

密度： \rho_i=\sum_{j}m_jW_{ij}.

其中\sum_j在i的核半径h内求和，W_{ij}=W(\bm{x}_i-\bm{x}_j,h)，\bm{x}_i为粒子i的位置，

梯度公式（差分）：

\nabla A_i=\sum_j\frac{m_j}{\rho_j}(A_j-A_i)\nabla_i W_{ij}.

梯度公式（对称）：

\nabla A_i=\rho_i\sum_jm_j\left(\frac{A_i}{\rho_i^2}+\frac{A_j}{\rho_j^2}\right)\nabla_i W_{ij}.

拉普拉斯算子（一般形式）：

\nabla^2 A_i=-\sum_j\frac{m_j}{\rho_j}(A_i-A_j)\frac{2\Vert\nabla_i W_{ij}\Vert}{\Vert \bm{r}_i-\bm{r}_j\Vert}

数值密度形式

数值密度定义：n_i=\rho_i/m_i.

采用数值密度的SPH算法并不区分每个粒子的质量，即认为m_i=m_j，故有

n_i=\sum_j W_{ij}.

则梯度公式（差分）为

\nabla A_i=\sum_j\frac{1}{n_j}(A_j-A_i)\nabla_i W_{ij}.

梯度公式（对称）为

\frac{m_i}{\rho_i}\nabla A_i=\sum_j m_im_j\left(\frac{A_i}{\rho_i^2}+\frac{A_j}{\rho_j^2}\right)\nabla_i W_{ij}.

注意到m_i=m_j，故有

\nabla A_i=n_i\sum_j\left(\frac{A_i}{n_i^2}+\frac{A_j}{n_j^2}\right)\nabla_i W_{ij}.

相应的拉普拉斯算子（一般形式）：

\nabla^2 A_i=-\sum_j\frac{1}{n_j}(A_i-A_j)\frac{2\Vert\nabla_i W_{ij}\Vert}{\Vert \bm{r}_i-\bm{r}_j\Vert}