参考文献：Interface reconstruction with least-squares fit and split advection in three-dimensional Cartesian geometry
在流体模拟中，我们可以用VOF（volume of fluid，体积分数）方法追踪两相之间的界面。而VOF场的演化需要对流，做这种对流的最佳方案之一是用所谓的piecewise linear方法，即在每个格子内部估计一个平面作为局部界面，在对流时根据这个界面计算通过格子之间界面的物质通量。
而在这种方法当中，想要估计平面，需要先计算出这个平面的法向，然后再确定其截距。本文所描述的Mixed Youngs-centered格式就是一种根据VOF场估计法向的方法。
结果判据
观察如下图（图3）所示的一个3*3二维区域，其中格子边长为h.
可以在每一行把体积分数加起来，得到一个局部的高度函数y=f(x)，或者在每一列把体积分数加起来，得到一个局部的宽度函数x=g(y).
而需要估计的平面，在这种二维情况下是一条直线\mathrm{sgn}(m_y)y=m_xx+\alpha’. 为什么要加sgn？因为这种高度函数无法区分水在上还是空气在上。
例如图a中的情景，我们可以对f(x)求导来计算斜率。这时就有一个问题：是用前向差分，后向差分还是中心差分呢？对于这张图而言，用i-1和i计算i处的斜率，能给出正确结果，因为界面穿过了i-1和i列的左右两条边，因此其高度函数f(x)反映的是真实的VOF。但如果用i和i+1计算这个斜率，就会出现问题，因为界面穿过了i+1列的左边和上边，因此i+1列的高度函数并未完全反映其VOF值，而是欠缺了一部分（即图3.a中右上角多出的白色小角）。此时，这种前向差分所计算出的斜率将比真实值更平缓。
这样我们就获得了一个判据，即如果对某个斜率m_x有两种估计m_{x1},m_{x2}，我们应当选择其中绝对值较大的那个：
|m^*|=\max(|m_{x1},m_{x2}|).
类似地，我们也可以用宽度函数g(y)估计另一种定义下的斜率m_y，此时方程为\mathrm{sgn}(m_x)x=m_yy+\alpha^{”}.何时用m_x，何时用m_y呢？对比图3.a和图3.b，我们发现如果用f(x)计算图3.b的斜率，这个斜率会非常大（例如，第一列的VOF为0，而第三列的VOF就陡升至3）。也就是说，界面为横向时，m_x的绝对值较小，此时应当用m_x，而界面为纵向时，m_y的绝对值较小，应当用m_y。这可以总结成如下公式，即在x和y之间应当选择绝对值较小的那个：
|m^*|=\min(|m_{x1},m_{y1}|).
需要指出的是，这个判据有时候也会失灵，比如图3.c的情况，此时最好的估计是f'(x)=0，但这个结果恰恰是m_x当中绝对值最小的那个，而非最大。
本文将把这两个判据扩展至三维，三维中的平面方程将形如\mathrm{sgn}(m_z)z=m_xx+m_yy+\alpha。根据二维判据的想法，我们应当检查|m_x|+|m_y|，但为了方便起见，计算时会将(\mathrm{sgn}(m_z),m_x,m_y)给normalize到绝对值之和为1，记作(m_z^0,m_x’,m_y’)。那么这时其实只用检查m_z^0，但最小化就改成了最大化，即：
|m^*|=\min(|m_{z1}^0|,m_{z2}^0).
同样，不同轴的选取也要相应改变：
|m^*|=\max(|m_{z1}^0|,|m_{y1}^0|).
Mixed Youngs-Centered Scheme
如以下的图5所示：
Youngs方法
我们定义C是体积分数的连续版本，也就是说C(\bm{x})意味着以x为中心的h^3格子中水的体积分数。那么可以发现，法向\bm{m}就是C的梯度：\bm{m}=-\nabla C.
在离散格式中，VOF场C定义在格子中心。那么我们可以在格子的八个角上用中心差分计算\bm{m}：
m_x=\frac{1}{h}(\overline{C}_i-\overline{C}_{i+1});
m_y=\frac{1}{h}(\overline{C}_j-\overline{C}_{j+1});
m_z=\frac{1}{h}(\overline{C}_k-\overline{C}_{k+1});
此处这些带横线的值都位于棱的中点，可以通过周围四个格子的VOF值取平均计算：
\overline{C}_i=(C_{i,j,k}+C_{i,j+1,k}+C_{i,j,k+1}+C_{i,j+1,k+1})/4.
这样可以在格子的八个顶点上算出八个法向，然后取它们的平均值，即为对格子法向的估计。
中心列方法
现在我们考虑对图5所示的3^3区域，固定z方向估计一个平面\mathrm{sgn}(m_z)z=m_xx+m_yy+\alpha.
这里的正负号\mathrm{sgn}可以用最底层和最顶层的C计算，而另外两个参数m_x和m_y由中心差分得出：
m_x=\frac{z_{i+1,j}-z_{i-1,j}}{2h}=\frac{1}{2}\left(\sum_{l=-1}^{1}C_{i+1,j,k+l}-\sum_{l=-1}^1C_{i-1,j,k+l}\right),
m_y=\frac{z_{i,j+1}-z_{i,j-1}}{2h}=\frac{1}{2}\left(\sum_{l=-1}^{1}C_{i,j+1,k+l}-\sum_{l=-1}^1C_{i,j-1,k+l}\right).
其实这就是上面讨论的高度函数法，即对每一列求和，然后对这个求和后的高度函数使用中心差分。
这样，中心列方法可以在x,y,z三个方向上给出三个估计。随后，我们用上一章描述的第二个判据从中选择一个方向，确定为平面的大致方向。然后，再用第一个判据比较中心列方法和Youngs方法所给出的两个估计，选择其中较好的那个。