笛卡尔坐标形式的连续方程

《流体力学》（上）（周光埛等，第二版）的第3章给出了这个方程的推导，这里列一下最终结果：

[latex]\begin{align*}
\boxed{
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0
}
\end{align*}[/latex]

柱坐标形式的连续方程

在柱坐标系下：

[latex]\begin{align*}
x&=r\cos(\theta)\\
y&=r\sin(\theta)\\
z&=z\\
\end{align*}[/latex]

取控制体[latex]\mathrm{d}r,\mathrm{d}\theta,\mathrm{d}z[/latex]，

则体积的“比例系数”就是[latex]\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}\right|=r[/latex]（参考伍胜健《数学分析》（第三册）第166页）。

整体变化率

在控制体内质量的变化率是：

[latex]\frac{\partial\rho}{\partial t}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z[/latex]

然后我们分别计算质量从三对相对的面流出控制体的速率。

沿r方向

沿这个方向，两个相对面的面积是[latex]r\mathrm{d}\theta\cdot\mathrm{d}z[/latex]，那么（沿r方向做泰勒一阶近似），质量流出的速率就是

[latex]\begin{align*}\frac{\partial(\rho v_r\cdot r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z)}{\partial r}\mathrm{d}r\end{align*}[/latex]

注意到[latex]\mathrm{d}r,\mathrm{d}\theta,\mathrm{d}z[/latex]对r取偏导的结果均为0，所以这个值等于

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial(\rho rv_r)}{\partial r}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z
\end{align*}[/latex]

沿[latex]\theta[/latex]方向

沿这个方向，两个相对面的面积是[latex]\mathrm{d}r\cdot\mathrm{d}z[/latex]，所以质量流出的速率是：

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial(\rho v_{\theta}\cdot\mathrm{d}r\mathrm{d}z)}{\partial\theta}\cdot\mathrm{d}\theta
=\frac{\partial(\rho v_{\theta})}{\partial\theta}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z
\end{align*}[/latex]

沿z方向

沿这个方向，两个相对面的面积是[latex]r\mathrm{d}\theta\cdot\mathrm{d} r[/latex]

所以质量流出的速率是：

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial(\rho v_z\cdot r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r)}{\partial z}\mathrm{d}z
\end{align*}[/latex]

由于是对z求偏导，所以r也应该拿到外面：

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z
\end{align*}[/latex]

把这四个式子联立起来：

[latex]\begin{align*}
-\frac{\partial\rho}{\partial t}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z=
&\frac{\partial(\rho rv_r)}{\partial r}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\\
+&\frac{\partial(\rho v_{\theta})}{\partial\theta}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\\
+&\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z
\end{align*}[/latex]

把微分项和r除掉，就得到了柱坐标形式的连续方程：

[latex]\begin{align*}\boxed{
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial(\rho rv_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial(\rho v_{\theta})}{\partial\theta}+\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z}=0
}\end{align*}[/latex]

球坐标形式的连续方程

在球坐标系下：

[latex]\begin{align*}
x=&r\sin\phi\cos\theta\\
r=&r\sin\phi\sin\theta\\
z=&r\cos\phi
\end{align*}[/latex]

取控制体[latex]\mathrm{d}r,\mathrm{d}\phi,\mathrm{d}\theta[/latex]，体积的“比例系数”为[latex]\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\phi,\theta)}\right|=r^2\sin\phi[/latex]（伍胜健《数学分析》（第三册）第167页）.

整体变化率

整体变化率为：

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial\rho}{\partial t}r^2\sin\phi\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta
\end{align*}[/latex]

沿r方向

对于r固定的面，x,y,z由[latex]\phi,\theta[/latex]确定。我们计算出：

[latex]\begin{align*}
E=&(x_\phi^{\prime})^2+(y_\phi^\prime)^2+(z_\phi^\prime)^2\\
F=&x_\phi^\prime x_\theta^\prime+y_\phi^\prime y_\theta^\prime+z_\phi^\prime z_\theta^\prime\\
G=&(x_\theta^\prime)^2+(y_\theta^\prime)^2+(z_\theta^\prime)^2
\end{align*}[/latex]

那么这个面的面积就是

[latex]\begin{align*}
\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta
\end{align*}[/latex]

（伍胜健《数学分析》（第三册）第204页）

经计算得出

[latex]\begin{align*}
E=&r^2\\
F=&0\\
G=&r^2\sin^2\phi\\
\sqrt{EG-F^2}=&r^2\sin\phi
\end{align*}[/latex]

[latex]\phi[/latex]对r求导得0，所以流出速率就是

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial(\rho r^2v_r)}{\partial r}\sin\phi\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta
\end{align*}[/latex]

沿[latex]\phi[/latex]方向

此时，x,y,z由r,[latex]\theta[/latex]决定。类似地：

[latex]\begin{align*}
E=&1\\
F=&0\\
G=&r^2\sin^2\phi\\
\sqrt{EG-F^2}=&r\sin\phi
\end{align*}[/latex]

流出速率为

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial(\rho\sin\phi v_\phi)}{\partial\phi}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta
\end{align*}[/latex]

沿[latex]\theta[/latex]方向

此时，x,y,z由r,[latex]\phi[/latex]决定：

[latex]\begin{align*}
E=&1\\
F=&0\\
G=&r^2\\
\sqrt{EG-F^2}=&r
\end{align*}[/latex]

流出速率为

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\theta}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta
\end{align*}[/latex]

合起来，把微分项除掉，就是：

[latex]\begin{align*}\boxed{
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial(\rho r^2 v_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\phi}\frac{\partial(\rho\sin\phi v_\phi)}{\partial\phi}+\frac{1}{r\sin\phi}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\theta}=0
}\end{align*}[/latex]