TopCoder SRM496 Div1 YetAnotherHamiltonianPath解题报告

题意：

有N<=50个城市，每个城市有一个名字（一个字符串）。从城市s走到城市t的代价是：|s|^2+|t|^2-LCP(s,t)^2.其中LCP(s,t)指s和t的最长公共前缀长度。求一条开始于0号城市，结束于1号城市的最短哈密尔顿路径。

分析：

首先我们按照城市名字的首字母将其分类，并将同一类的放在一起。

例如：城市名可能是“asdf,aqwe,bpdr,btr”，那么”asdf”和”aqwe”就是同一类，”bpdr”和”btr”是同一类。

显然，在最短的哈密尔顿回路中，同一类一定是放在一起的。而对于同一类，我们又可以按照第二个字母将其分类……如此递归下去。

例如：有五个城市，名称是”aab”,“ccf”,”ab”,“aac”,”cd”。

第一层划分：{ “aab” , “ab” , “aac” } , { “ccf” , “cd” }

第二层划分：{ { “aab” , “aac” } , { “ab” } } , { { “ccf” } , { “cd” } }

第三层划分：{ { { “aab” } , { “aac” } } , { “ab” } } , { { “ccf” } , { “cd” } }

这样的结果：”aab” -> “aac” -> “ab” -> “ccf” -> “cd” -> “aab”就一定是一个最短的哈密尔顿回路。

在讨论如何让0和1相邻之前，先看一下如何实现这个“划分”的细节；

step 1：设i,j两个指针，让i从”aab”开始扫描。

step 2：让j指向i的下一个位置，顺序遍历后面的城市名称，如果首字母和 i 指向的城市相同，就将它和 j 指向的城市交换，并把 j 指针加1.

step 3：如此扫描一遍后，数组变成了{“aab”,”ab”,”aac”,”ccf”,”cd”}，j指向”ccf”。

step 4：将i赋值为j，回到step 2进行下一次循环。

如何让0和1相邻呢？设0号城市的名字是S0,1号城市的名字是S1.

遵循三个原则：①如果当前这一类中既有S0又有S1，就设法让S0和S1相邻。②如果当前这一类中只有S0没有S1，就设法把S0排在最后。③如果当前这一类中只有S1没有S0，就设法把S1排在最前。

根据上面所述的划分细节不难看出，在①中S0和S1所在的子集一定相邻。②和③保证：S0在当前子集的最后，S1在当前子集的最前。

例如：在上例中S0=”aab”,S1=”cd”。

1：划分{“aab”,“ccf”,”ab”,“aac”,”cd”}：根据①我们将集合改成{“aab”,”cd”,”ccf”,”ab”,”aac”}，划分成：{{“aab”,”ab”,”aac”},{“cd”,”ccf”}}，”aab”和”cd”所在的子集相邻。

2：从1处递归划分{“aab”,”ab”,”aac”}：根据②我们将集合改成{“ab”,”aac”,”aab”}，划分成：{{“ab”},{“aac,aab”}}。

3：从2处递归划分{“aac”,”aab”}：根据②，集合还是{“aac”,”aab”}，划分成：{{“aac”},{“aab”}}。

4：从1处递归划分{“cd”,”ccf”}：根据③，集合还是{“cd”,”ccf”}，划分成：{{“cd”},{“ccf”}}。

5：所有划分完成，数组变为：{“ab”,”aac”,”aab”,”cd”,”ccf”}。其中S0和S1相邻，并且是一个最短的哈密尔顿回路。

最后求一遍哈密尔顿回路的总长，减去S0->S1的花费即可。这道题数据范围很小，基本不用考虑时间复杂度。

代码：

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