读书笔记：A Model for Soap Film Dynamics with Evolving Thickness

3 SOAP FILM DYNAMICS WITH VARYING THICKNESS

3.1 Definitions and Setting

流体在薄膜上的流动遵循带有表面张力项的无粘NS方程：

这个x上面一点就是速度的意思。(1)右端第一项是表面张力。里面的u代表气-液界面，l代表液-气界面。H是平均曲率，n是法向。这里u和l得名于“upper”和“lower”.

然后[latex]\delta_{S^u},\delta_{S^l}[/latex]是狄拉克函数，在[latex]S^u,S^l[/latex]之外消逝。

压强p在除边界之外的地方二阶可导，在每个泡泡里面的空气区域中取恒定值。 S是surface：

这里面A是[latex]R^2[/latex]的子集。然后在一个点可以确定局部坐标系：

这里[latex]S_a[/latex]和[latex]S_b[/latex]代表偏导。

厚度场为h，因此薄膜上下表面为：

然后它定义了一个[latex]\Gamma[/latex]：

这个[latex]\Gamma[/latex]实际上是一个“柱”，也就是以S(a,b)表示的这个表面点为中心，向上下到薄膜表面的一个线段。

然后X就是这个“柱”的重心：

文中将用X代表表面S。

3.2 Normal Acceleration

因为厚度h足够小，所以可以忽略其上的变化，用表面上点的速度代表这个“柱”的速度：

单看法向加速度的话，根据NS方程，就是：

最后一个等号是根据狄拉克函数的性质，以及如下等式：

这里面，[latex]\nabla^2_s[/latex]是表面S上的Laplace-Beltrami算子。我们认为薄膜两边的body force一样，因为它足够薄。然后也假设[latex]\nabla_{S^u}^2S^u+\nabla_{S^l}^2S^l=2\nabla_S^2S[/latex].

然后考虑压强项。在薄膜表面，也就是“柱”[latex]\Gamma[/latex]的两端，根据Ishida et al’s [2017]的近似：

也就是说，压强差乘以法向。然后把中间的压强z方向梯度积分起来，其实也等于两端压强差：

我们认为法向在整个“柱”上都是一样的，也就是[latex]n^u=n^l=n[/latex]，结果就是：

其实就是两端压强差，这么点事……

这样的话，合起来的加速度公式就是：

影响这个法向运动的主要是：表面张力（曲率）、两端压强差、外力。

3.3 Tangential Acceleration

切向加速度就是：

这里面我们认为压强p是二阶可导的，同样[latex]n^u=n^l=n[/latex].

然后由于法向的x，y分量为零，也就是：

这里面的[latex]\nabla_S[/latex]是表面梯度（surface gradient），P是一个“柱”的压强积分：

注意：切向没有表面张力。也就是说，文章只算毛细力，忽略了Marangoni力。

3.4 Thickness Evolution

首先回顾厚度的定义：

然后我们看，在[latex]x^u[/latex]处的法向力为：

类似地

把这两个合到一起算出来h的变化率：

这里把上下表面的表面梯度之差写成了[latex]\nabla_S^2h[/latex]。然后

可以发现，如果忽略掉Q，h的方程就是一个advected wave equation.然后Q的作用是“挤压”这个film，保持不可压性，就像流体求解器里面的压强场一样。

3.5 Pressure

压差[latex]\nabla p[/latex]实际上是每个泡泡体积守恒产生的一个修正项。我们使用Ishida et al. [2017]的方法做这个。

然后我们看方程(20)里的P。根据质量守恒，厚度h满足：

使用一个类似投影法的方法。首先对(20)做对流，然后加上外力，然后剩下：

这里带波浪线的是对流&加外力之后的速度场。把它和(26)联立可以得到：

这个就相当于N-S求解器里的投影了。这个和拿triangle mesh做的二维不可压流体求解器几乎一致，但是它允许质量在切向速度和法向的h变化率之间转意。所以，速度场本身是可压的，散度会被h的变化率吸收掉。

本文的算法没有真正地计算Q。它是用Q去修正数值误差导致的体积变化。每个时间步结束之后，用Q去scale up厚度项h，保证薄膜的质量守恒。

3.6 Evaporation and Bursting Bubbles

蒸发就是每步把h削薄一点：

破裂就是当某个地方的h太小的时候，删掉一块表面。把这个bubble的质量分给周围其他bubble.

4 IMPLEMENTATION

大致可以总结为：

1、切向advection.
2、根据切向速度和h算P。
3、根据算出来的P更新切向速度。
4、Advect厚度。
5、给h加表面张力。
6、用Q对h做体积修正。
7、计算法向速度，其中有表面张力，需要用到h。
8、做空气体积守恒。