渺渺苍天，星光烁烁，美丽家园球外乡
参考文献：A Fast Unsmoothed Aggregation Algebraic Multigrid Framework for the Large-Scale Simulation of Incompressible Flow
考虑求解方程$-\nabla^2 p=b$，或写成矩阵形式$Ap=b$，加负号是为了让矩阵正定。向量$p$的每一项对应某个$n_x\times n_y\times n_z$里面的一个格子。我们采用转换积分的方式：
$$
\int_V\nabla^2 p\mathrm{d}V=\oint_S\nabla p\cdot\bm{n}\mathrm{d}S.
$$[……]
HOLA: a High-Order Lie Advection of Discrete Differential Forms
With Applications in Fluid Dynamics
里面的公式(1.16)。
它的涡量是：
$$
\omega=\frac{V}{R}\left(2-\frac{r^2}{R^2}\right)e^{\frac{1}{2}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)}.
$$
这个就是所谓的泰勒涡，文章
Effect of vortex profile on sound generation in a non-uniform[……]
参考文献仍然是An accurate adaptive solver for surface-tension-driven interfacial flows
标准的2D规则网格曲率计算：
这样的问题是$3\tim[……]
参考文献：Interface reconstruction with least-squares fit and split advection in three-dimensional Cartesian geometry
在流体模拟中，我们可以用VOF（volume of fluid，体积分数）方法追踪两相之间的界面。而VOF场的演化需要对流，做这种对流的最佳方案之一是用所谓的piecewise linear方法，即在每个格子内部估计一个平面作为局部界面，在对流时根据这个界面计算通过格子之间界面的物质通量。
而在这种方法当中，想要估计平面，需要先计算出这个平面的法向，然后再确定其截距。[……]
参考文献：An accurate adaptive solver for surface-tension-driven interfacial flows
做advection的时候，认为每个格子里的界面都是一个平面（我们默认三维，二维就是直线）。也就是说有一个法向矢量$\bm{m}$和一个常数$\alpha$，那么这个格子的界面就是
$$
\bm{m}\cdot\bm{x}=\alpha.
$$
可以发现，如果这个格子的体积分数$c$（也就是VOF）和$\bm{m}$都已确定，那么$\alpha$就是唯一确定的。确定的方法类似marching cubes，即分类[……]
对于对称正定矩阵$A$和向量$b$，构造优化目标函数$\phi(x)=\frac{1}{2}x^TAx-b^Tx$.
可以用张量记号写作：$\phi=\frac{1}{2}x_ia_{ij}x_j$.
对$x_i$求导得：
$\frac{\partial\phi}{\partial x_i}=\frac{1}{2}a_{ij}x_j+\frac{1}{2}x_ja_{ji}$.
由于$A$对称，故这两项相等，即$\frac{\partial\phi}{\partial x_i}=a_{ij}x_j=Ax$.
ht[……]
Eigen使用ConjugateGradient类进行共轭梯度法计算。一个代码示例为（https://eigen.tuxfamily.org/dox/classEigen_1_1ConjugateGradient.html ）：
int n = 10000;
VectorXd x(n), b(n);
SparseMatrix<double> A(n,n);
// fill A and b
ConjugateGradient<SparseMatrix<double>, Lower|Upper> cg;
cg.compu[......]本文提到的方法见于：Tartakovsky, Alexandre M., and Paul Meakin. “A smoothed particle hydrodynamics model for miscible flow in three-dimensional fractures and the two-dimensional Rayleigh–Taylor instability.” Journal of Computational Physics 207.2 (2005): 610-624.
密度： $\rho_i=\sum_{j}m_jW_{ij}.$
其中$[……]
对于一维情况，现假设我们有一个定义在非负实数域上的标量权值函数$\phi_1(x)$，截断至1，即满足：$\int{\phi_1(x)}\mathrm{d}x=1$，且$\phi_1(x)=0$对$\forall x>1$成立。
我们希望基于它设计一个关于$\vec{r}$的对称核函数$W_1(\vec{r})$，截断至$h$，那么这个核函数的形式应为
$$W_1(\vec{r})=\alpha_1 \phi_1\left(\frac{|\vec{r}|}{h}\right).$$
它的积分应为1，因此
$$\int W_1(x)\mathrm{d}x=h\alpha_1\i[……]
首先是每算例都做三组：
所有测试都是在规则正方形/立方体网格上完成的。