渺渺苍天，星光烁烁，美丽家园球外乡
Fluid Simulation for Computer Graphics第二版，8.2节。
在求解自由表面流体时，简单地把计算域划分为液体格和气体格，会导致artifact.如果能更精确地追踪表面，可以修改一下在水-气界面附近计算压强差的方式。
根据Gibou et al. 2002的ghost fluid方法，可以把更新流体速度节点[latex]u_{i+1/2,j,k}[/latex]的方程写作
假设(i,j,k)在流体内部，而(i+1,j,k)在空气中，即[latex]\phi_{i,j,k}\leq 0<\phi_{i+1,j,k}[/latex].认为[……]
记录一下最近的一次折腾，使用一台安装了Ubuntu 20.04 Server的工控机搭建软路由，并成功配置家庭NAS的内网访问。计算机网络没好好学，全靠本能debug，感谢lcy同志的全程技术科普（
瞎画的，是这意思就行（[……]
本文讨论使用Octree（八叉树）重建表面的问题。
讨论连续性问题。
如果在Octree上储存数据，那么在不同大小的格子交界的地方，数据可能会不连续。
本文采用的方法：在大小格子交界处，让大格子在小格子上sample数值：
也就是用方块节点插值出来三角节点的值，把原来的扔掉。这样一来，小格子上的数值就是线性的，那么marching cubes就会在大小格子上得到同样的intersection point，也就是说数值是连续的。
但是，虽然数值连续，但算出来的表面不一定连续。如图3：
本文的方法，[……]
本文基于维基百科内容写作：
https://en.wikipedia.org/wiki/Marangoni_effect
https://en.wikipedia.org/wiki/Marangoni_number
示例视频（需科学上网）：
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Marangoni_effect_experimental_demonstration.ogv
马拉戈尼效应由表面张力的梯度产生。在简化情况下，流体被马拉戈尼效应驱动而流动的特征速度[latex]u\sim\Delta\ga[……]
传给glutMouseFunc()的(x,y)是左上至右下的坐标：x表示离屏幕左边缘的像素数，y表示离屏幕上边缘的像素数，如图：
而glReadPixels()采用的坐标系统则与此不同，它是从左下到右上的。也就是说，x表示离屏幕左边缘的像素数，y表示离屏幕下边缘的像素数，如图：
所以，如果想把glutMouseFunc()取得的坐标传给glReadPixels()，就需要做一个变换：
y=Height-y-1
[……]
流体在薄膜上的流动遵循带有表面张力项的无粘NS方程：
这个x上面一点就是速度的意思。(1)右端第一项是表面张力。里面的u代表气-液界面，l代表液-气界面。H是平均曲率，n是法向。这里u和l得名于“upper”和“lower”.
然后[latex]\delta_{S^u},\delta_{S^l}[/latex]是狄拉克函数，在[latex]S^u,S^l[/latex]之外消逝。
压强p在除边界之外的地方二阶可导，在每[……]
我们使用点约束（point constraints），这样一方面施加软体约束（例如bone attachments），一方面解决物体之间的碰撞/自碰撞。特别地，我们在规则网格（lattices）上放一些代理点（proxy points），在这些点上记录力，并用三次插值法把这些力分配回六面体网格节点上（hexahedral cells）。[Sifakis et al. 2007]展示了这种方法的效率。
对碰撞的响应（collision response）由一系列代理点决定，它们大致覆盖了碰撞表面。我们使用一种基于惩罚项（penalty）的响应方式，这个[……]
用“状态向量”表示一个质点的状态：
如果三维，就是六个数。这个Y可以扩展到n个质点：
我们先暂且考虑一个质点。F(t)是该质点t时刻所受合力。假设该点有质量m，那么状态向量的变化率就是：
质点没有方向，刚体有，所以复杂一点。描述刚体，首先需要位置x(t)，然后是3*3旋转矩阵R(t).我们称x(t)和R(t)是刚体的“空间变量”。
在固定的body space里面定义刚体的形状。之后就可以用x(t)和R(t)把它变换到world space下。我们约定刚体质心在原点(0,0,0).假设R([……]
文中推导的是不可压缩弹性固体的方程。目标是让弹性方程看起来尽量像流体方程一样。
(q,r,s)是固体上的曲线坐标。X(q,r,s,t)是该固体质点在t时刻的位置。M(q,r,s)是质量密度。由能量密度函数E[X]定义固体材料性质。弹性力就是它的Frechet导数：
这里[latex]\wp[/latex]是小扰动的意思。[latex]\wp\mathbf{X}[/latex]的意思就是在X基础上的小扰动。类似地[latex]\wp E[/latex]就是对总能量的小扰动。
定义体积改变比例J：
弹性固体材料不可压缩也就是：
根据最小[……]
MPM是结合PIC和FLIP而发展的一种算法。MPM对Lagrangian mesh连通性没有要求。
和PIC/FLIP类似，MPM算法在背景Eularian网格的辅助下，隐式处理自碰撞和破碎。与传统的Lagrangian方法（例如FEM算固体）Eularian方法（流体）相比，MPM好处如下：